老师
亲爱的同学们大家好，我是来自北京市牛栏山一中实验学校的数学老师陶慧。我们这个阶段对于函数的学习已经接近尾声，大家在解决依次函数的问题时，已经积累了很多的方法和经验，而在积累的过程中，老师们强调最多的方法之一就是树形结合。下面我们来回忆一下，如果说这段时间，依次函数的图像在平面直角坐标系内，经常会与一个图形不期而遇，你会想到哪个图形？是的，它就是三角形。细想下来，涉及到三角形的问题当真有很多种，那么我们这节课就先来说说与依次函数有关的三角形的面积问题。问题一，如果把一个三角形a、b、 c 放入平面直角坐标系中，可能会有几种状态？对于这个问题，同学们的思维很活跃。有的同学说三个顶点在同一个象限内和三个顶点不在同一个象限内。还有的同学说三个顶点都在坐标轴上和三个顶点不全在坐标轴上。
老师
很好，大家已经自动把分类讨论的方法用在了这个问题上面，只要你的分类标准是统一的，那么你的答案就都是合理的。但是我们这节课要研究三角形的面积问题，自然分类标准要相对靠近面积的计算。于是我们将所有可能情况归为以下 3 类，第一类，三角形a、 b seed 一边在坐标轴上，如图中举例点 seed 位置则可能是其他任意。第二类，三角形a、 b seed 一边与坐标轴平行。
老师
第三位三角形 a b seed 任意一边，既不在坐标轴上，也不与坐标轴平行。
老师
有同学会问了，为什么要这样分类呢？既然我们最终是计算三角形的面积，自然要找出三角形的底和高。那么在平面直角坐标系中如何能得到三角形的底和高？自然是需要通过各个点的坐标得到两点之间的距离作为底，点到直线的距离作为高，三角形的面积即可计算。通过点的坐标计算线段长度，当然是坐标越特殊，计算越简单了，所以我们按照这种计算的难易程度来进行分类。
老师
问题二，接下来我们就来看看这些三角形的面积如何计算。在第一类中，三角形的一边在坐标轴上，如图1。三角形的 AB 边在 x 轴上。假设我们随机给出三点坐标，分别是点 a - 20，点B40，点C25。你能够最先计算出来哪条边的长度，必然是 AB 边。因为a、 b 边在 x 轴上，所以两点的纵坐标相同，均为0。线段，a、 b 的长度则是这两点间的横向距离。用两点的横坐标做差即可得到a、 b 等于4，减负 2 = 6。当然大家都明白，这里提到的差是用大数减小数得到的，或者我们可以说是两个横坐