老师
同学们好，我是北京市第十五中学的秦淑峰老师。今天我们一起来学习实际问题与一元二次方程，我们从一个引力开始。九章算术大家都应该听说过，全书共收有 246 个数学问题，分为九章，故名九章算数。其中第九章就是勾股。里面记载了这样一个问题，今有护不知高广，干不知长短。横枝不出四尺，纵之不出二尺斜之事出问互斜几何？什么意思？我们来看注释，有一个不知宽和高的门和一个不知长度的肝，如果把肝横放，肝比门宽，长出 4 尺，如果竖放杆比门高，长出两尺，斜放恰好能出去。这里边提到的斜放就是沿着门的对角线，问题是求互斜的长度，也就是门的对角线的长度。
老师
面对这样的问题，我们第一步要做什么呢？没错，就是画图。画图要把握两个要求，第一能准确体现题目的意思，第二能便于进一步的计算。请同学们试一试这个图应该怎样画？我们可以用一个矩形 ABCD 来表示，这个门宽是BC，高是CD，互斜是对角线BD。如果横放杆， BE 比宽 BC 多出 4 尺，也就是 CE 是 4 尺。如果竖放肝， CF 比门高， CD 多出两尺，也就是 DF 是两尺。问题是求BD。
老师
通过以上的分析和画图，我们就把一个实际问题换成了一个数学问题。那么如何求对角线 BD 的长呢？我想很多同学都有了思路，这个思路包含两个关键词，一个是勾股定理，一个是方程，也就是通过勾股定理列方程相等关系自然是勾五定理。那么设谁是未知数？问题是求互谐，那我们就设 BD 是 x 尺，那么 BC 就是 x 减 4 尺， CD 是 x 减二尺。有提议角， BCD 等于 90 度，所以 BC 方加 CD 方等于 BD 方，也就是 x 减 4 的平方，加上 x 减 2 的平方等于 x 的平方。
老师
这个方程怎么解？第一步，按照完全平方公式展开， x 方减 8X 加16，加上 x 方减 4X 加 4 等于 x 的平方。第二步，整理成一般形式，也就是 x 的平方减12， x 加 20 = 0。一元二次方中的解法有四种，分别是直接开瓶方法、配方法、公式法和因式分解法。对于这个方程，后三种方法都可以，但是最简单的还是因式分解法。我们把常数项 20 分成 - 2 乘以 -10， - 2 和 - 10 相加，恰好等于一次项的系数 -12，也就是等号左边可以利用十字相乘法分解因式，得到 x 减 2 乘以 x 减 10 = 0。
老师
一个根是 x 等于查看隐藏内容